Je matematika objevena nebo vynalezena?

Pro většinu z nás naše matematické vzdělání zahrnovalo spoustu jmen. Existuje Pythagorova věta; Riemannova hypotéza; Hilbertův hotel a mnoho dalších pojmů a teorémů bytostně spojených s učenci, kteří je objevili jako první. Nebo bychom měli říci, že je vynalezli?

Je to vážná otázka. Jsme tak zvyklí na to, že matematika je tímto nepostradatelným nástrojem, který nám umožňuje odhalit základní zákony vesmíru, rychle zbohatnout nebo jednoduše naplánovat ten nejefektivnější seznam hostů na párty, že se často nezastavujeme nad tím, odkud pochází.

Tak která to je? Je matematika vynalezena se všemi těmi teorémy a koncepty tak důsledně dokazovanými po celá tisíciletí jen vedlejším produktem lidského vnímání; nebo je to objeveno, podněcující představu nějaké faktické, skutečné „šestky“ tam někde v kosmu?

Je to záludnější otázka, než si možná myslíte.

Reálná čísla, nebo imaginární?

Pokud jste někdy přemýšleli, zda A2 + b2 = C2 je nějaká kosmická a neměnná pravda, nebo jen něco, o čem jsme se rozhodli, že je užitečné pro stavbu mostů, jste v dobré společnosti. Otázka, zda je matematika objevena nebo vynalezena, sahá velmi dlouhou dobu: „přinejmenším od Platónových dob (4.čt století [BCE]),“ řekl IFLScience Alexander Paseau, profesor matematické filozofie na Oxfordské univerzitě.

“A pravděpodobně ještě předtím,” dodává. “Pythagorejci měli filozofii čísla.”

Dokonce i dnes je jedna z hlavních myšlenkových škol na tuto otázku známá jako platonismus, po zápasníkovi, který se stal filozofem, na jehož myšlenkách je založen. Je spravedlivé říci, že následovníci se postavili docela pevně na jednu stranu argumentu: Platonisté zastávají názor, že „čísla, matematické objekty, vlastně všechno, jsou skutečné,“ vysvětluje Joe Morrison, pedagog z katedry filozofie University of Sheffield.

“Jsou nezávislé na mysli,” říká IFLScience. „Nezávisí na tom, že o nich někdo přemýšlí nebo je pojmenovává nebo s nimi přichází nebo má nějaké koncepty; jsou opravdu venku.”

Na spektru od „objeveného“ po „vynalezený“ pak platonismus rozhodně nabírá na „objevený“. Výrok jako například „Riemannova hypotéza je pravdivá“ je stejně závislý na faktické realitě jako „všechna jablka jsou červená“; kdyby byl dnes veškerý lidský život vymazán z existence, nezměnilo by to skutečnost, že 2 + 2 = 4, o nic víc, než by to změnilo počet atomů v molekule vody.

Je to jen jedna větev toho, co je známé jako matematický realismus. Existují i ​​jiné způsoby, jak věřit v existenci matematických entit v reálném životě: „Aristotelové si myslí, že matematika je o fyzickém světě,“ poznamenává Paseau, zatímco řekněme objektový realismus odstraňuje platónský požadavek nezávislosti. Ale všichni se shodují: matematické objekty, jako čísla a množiny, jsou skutečné (pokud jsou abstraktní) entity, které jako inteligentní agenti objevujeme, spíše než vymýšlíme.

Abychom pochopili transcendentální

Matematický realismus v průběhu staletí přitahoval některá poměrně slavná jména – dokonce i Kurt Gödel, možná osoba, u které byste nejméně čekali, že zaujme tvrdý postoj „matematika je skutečná“, připisovaný tomuto názoru. Ale zdaleka to není všeobecně přijímané: „Existuje obrovské množství lidí, kteří říkají, že platonismus je absurdní,“ říká Morrison; “Je to přehnané, je to nafouklé a říká nám to, že musíme do naší ontologie – do našeho inventáře toho, co existuje – přijmout všechny tyto opravdu podivné entity, tyto matematické entity, které prostě nejsou jako nic jiného.”

A problémy s platonismem sahají ještě hlouběji. Zpočátku se objevitelnost matematických realit může zdát jako síla postoje – kdo umí opravdu říkají, že nejsou trochu ovlivněni argumentem, že „dva“ se rovná dvěma bez ohledu na to, zda říkáme, že ano?

Ale „jsou-li matematické pravdy nějakým způsobem skutečně tam venku,“ vysvětluje Morrison, „a jsou to tyto věčné nečasoprostorové, univerzální struktury; neexistují v čase, neexistují v prostoru, prostě nějak jsou skutečné… jak je tedy možné, že o nich lidé někdy něco vědí?”

Pokud ne skutečné, tak co?

Možná se tedy matematika neskládá ze skutečných předmětů a pravd, které jen čekají, až je nějak objevíme. Ale jaká je alternativa? Říká se tomu dostatečně výstižně pro názor, který je proti myšlence, že matematika je fakt fikcionalismus – a na první pohled to asi působí trochu divně.

„Fikcionalismus je myšlenka, že matematika je fikce: „1 + 2 = 3“ může být v příběhu matematiky pravdivé, stejně jako v Dickensově fikci, že Oliver Twist žije v Londýně,“ vysvětluje Paseau. “Ale není to doslova pravda, stejně jako není doslova pravda, že Oliver Twist žije v Londýně – protože ani neexistuje.”

Jak si dokážete představit, tento pohled je poněkud kontroverzní. „Když člověk poprvé slyší fiktivní hypotézu, může se to zdát trochu bláznivé,“ píše Mark Balaguer, výzkumník v matematické filozofii na California State University v Los Angeles, v článku The Stanford Encyclopedia of Philosophy na toto téma.

“Opravdu máme věřit, že věty jako ‘3 je prvočíslo’ a ‘2 + 2 = 4’ jsou nepravdivé?” ptá se. „Ale přitažlivost fikcionalismu se začíná objevovat, když si uvědomíme, jaké jsou alternativy. Pečlivým přemýšlením o problémech souvisejících s interpretací matematického diskurzu se může začít zdát, že fikcionalismus je ve skutečnosti velmi pravděpodobný, a že by to mohl být jen ten nejméně bláznivý pohled na svět.“

Může se to zdát jako nějaký podvod – jak kdysi proslul Bertrand Russell, je to podobné jako sklízet „výhody krádeže nad poctivou dřinou,“ říká Morrison. Fiktivisté by však namítli, že takové věci skutečně děláme neustále: „Mluvíme o tom Pán prstenůa můžeme říci věci jako ‘Žijí hobiti v Kraji?’,“ zdůrazňuje. “A odpověď je ano, je pravda, že hobiti žijí v Kraji.” […] hobiti žijí v Kraji a hobiti neexistují.“

Totéž platí, věří beletristé, o matematických tvrzeních. Odtud pochází podivná myšlenka, že „3 je prvočíslo“ je nepravdivé tvrzení – ne proto, že by si beletrista myslel, že 3 má jiné faktory než on sám a jeden, ale protože věci jako „3“ a „být prvočíslo“ a „faktory“ jednoduše nejsou věci, které existují.

„Matematickí beletristé rádi říkají, podívejte, nepopíráme, že 2 + 2 = 4, neříkáme, že je to nepravda,“ vysvětluje Morrison. “V jistém smyslu je to pravda, ale je to pravda stejně jako Bilbo Pytlík žil v Kraji.” Podle fikce je to pravda.”

Otázka překvapení

Stejně jako realismus má však fikcionalismus své odpůrce. Koneckonců, pokud je matematika jen vynález, pak, no – jak to, že funguje tak dobře?

Není to triviální otázka. Jak je možné, že řekněme jednoduchá rovnost spojující poloměr kruhu s jeho obvodem by měla být také nedílnou součástí modelování dynamiky finančních derivátů v čase? Proč by na Zemi fyzický pohyb kyvadla vůbec souvisel? Všechno k prezentaci čísel jako součtů čtyř čtverců, natož aby byl závislý na úplně stejné rovnici? Jak vůbec začneme vysvětlovat analytickou geometrii neboli Monstrous Moonshine?

„To je pro beletristy skutečná výzva. Jako podstatná výzva,“ říká Morrison. Filozofové tomu říkají nepřiměřená účinnost matematiky: všudypřítomná, zdánlivě nevysvětlitelná a často zcela nepředvídatelná schopnost matematiky vysvětlit zdánlivě jakýkoli vědecký jev.

“Takže můžeme dostat lidi na Měsíc – když se podíváte na film.” Skryté postavydoslova dělají, víte, matematiku dlouhého tvaru […]velmi složité rovnice které byly účinnécož ve skutečnosti umožnilo, aby se dva pohybující se objekty velmi efektivním způsobem shodovaly,“ vysvětluje Morrison.

“A otázka by byla, jestli jsou všechny tyhle matematické řeči v určitém smyslu nepravdivé nebo v určitém smyslu nereálné, pokud nezachycují skutečné vlastnosti reality – jak může být tak efektivní?”

Nebo si vezměme například periodické druhy cikád v Severní Americe, které číhají v podzemí léta, než se vynoří, aby pohltily celá města v jejich spěchu jíst, množit se a pouštět. Existuje sedm různých druhů hmyzu a všechny dodržují přísně matematický režim, který se objeví až po sedmi, 13 nebo 17 letech pod zemí.

„Jak to, že jde o životní cykly prvočísel? A odpověď je jen trocha teorie čísel,“ říká Morrison. “Jde jen o nejnižší společné násobky.” Je to biologické vysvětlení, ale je to biologické vysvětlení [that] nezbytně spoléhá na vlastnosti čísel. Prvořadost životních cyklů zjevně přináší fyzický rozdíl.“

Je to na první pohled přesvědčivý argument ve prospěch realismu – nebo alespoň proti fikcionalismu, což není totéž. Protože zatímco fikce nemusí být schopen odpovědět na otázku dokonale, neexistuje žádná záruka, že to dokáže ani realista.

“To je skutečně místo, kde filozofie začíná být zajímavá,” říká Morrison. Fiktivisté se „pravděpodobně pokusí a buď se z problému vyhrabou […] nebo je zde odraz – „no, jak se s tím vypořádá druhý pohled? Proč by pro realismus mělo být tak přímočaré dávat smysl překvapivým náhodám?’“

Quod erat demonstrandum

Takže, co to znamená pro matematiku? Ani vynalezená, ani objevená, ale nějaká tajná třetí věc, nerozluštitelná i pro ty, kteří této otázce zasvětili svůj život.

“Někde mezi tím – to musí být správná odpověď,” navrhuje Morrison. “Můj instinkt je, že některé matematické struktury budou vypadat jako objektivní, ale ukáže se, že jsou méně než plně objektivní.”

Ve skutečnosti jsme sotva poškrábali povrch možných řešení. “Někteří lidé si myslí, že předměty matematiky jsou mentální,” vysvětluje Paseau; existují formalisté, kteří „vidí matematiku jako nesmyslnou manipulaci se symboly. V dnešní době není příliš populární názor,“ říká a deduktivisté, a „mnoho dalších, relativně nepopulárních názorů“.

„Většina současných filozofů matematiky, včetně mě, jsou strukturalisté,“ dodává – i když „otázkou je, jaký druh strukturalismu zvolit.“

Dozvíme se někdy s jistotou odpověď? Je to možné. Přes všechno, čím je filozofie koukání do pupíků známá, probíhá také spousta praktických a experimentálních prací – a s pokrokem technologie můžeme začít vidět druhy průlomů, které byste možná nečekali od předmětu, který je někdy vtipně popisován jako „matematika bez odpadkový koš.”

Neurověda by ještě mohla přinést vhled do matematického poznání, navrhuje Morrison, oddělit to, co je v matematice pouze rysem lidského myšlení a co je pro nás nějak vnější; Rostoucí používání počítačů k vymýšlení a dokazování teorémů, předpokládá Paseau, stejně pravděpodobně změní způsob, jakým přemýšlíme o matematice.

Ale nakonec to může být jedna z těch otázek, se kterými prostě musíme žít, když neznáme odpověď – bez ohledu na to, jak dlouho a usilovně o tom přemýšlíme.

“Můj instinkt je, že matematika je vynalezena,” říká Paseau. “Tomu jsem věřil, než jsem se dal na filozofii.”

“Není to to, co si teď myslím,” dodává. “Postupem času jsem si myslel, že to bylo objeveno.” Zdá se, že k tomu vedou argumenty.“

Všechny „vysvětlující“ články jsou potvrzeny ověřovače faktů aby byly správné v době zveřejnění. Text, obrázky a odkazy lze později upravit, odstranit nebo přidat, aby byly informace aktuální.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *